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不能追上乌龟。”
林恩的话,在场学徒都有印象,一开始他们以为林恩是和稀泥的,现在再听,却完全不一样了。
“未定义?”凯登挑眉。
“对,因为无穷小只存在于我的思想中,它到底是什么,并没有被严格定义,我也没有能力对它做出定义,所以我无法回答绯红之月追逐乌龟的过程中,那个无穷小量到底能不能被忽略,我也无法回答无穷多个数字能否相加,结果是不是一个有限的数字,这都需要经过定义才能给出答案,但我倾向于这两个问题的答案都是肯定。”
“你想通过定义,实现这种肯定?”凯登抓住了林恩话中的重点。
数学从头到尾,都在玩定义,我们都知道无限循环小数0.9999……=1。
也就是时候,数学上不存在0.……,当它出现,直接写成1就行了。
可这要怎么证明呢?
网上有很多只用小学知识证明的方法,比如——
设0.999……=x。
则10x=9.999……
10x-x=9
解得x=1
这证明看起来简洁漂亮,小学生都能看懂,但仔细想想它显然是不对的,因为这涉及到了两个有无穷位数的数字相减,我们怎么知道这两个数字小数点后面的位数“一样多”,相减可以正好消除?
两个无穷能一样多吗?
实际上,如果0.9999……不等于1,这意味着两个无穷大可以比较,那么10x,也就是9.9999……的位数,应该比0.9999……“正好少”一位小数。
因为两边同时乘以10了。
所以两边相减,不能想当然地认为它等于9,它也有可能等于9.000……01。
但我们知道0.9999……=1,这是为什么?
没有为什么,这是定义。
哪怕你一眼就看出来,它们不相等。
但你看出来没用,因为我们定义了它们相等。
当然,你也可以用小数的定义,极限,实分析去证明0.9循环等于1,但不管你用什么证明方式,都绕不开使用定义。
如果你不愿意接受这个定义,大可以定义0.9循环不等于1,并以此为基础,发展出一套新的数学体系。
假设这个新数学体系有用,那你就等于开创了新数学,并且可以获得菲尔兹奖。
当然,这种新数学有用的可能性很小就是了。
可是在林恩现在所在的时代,极限还并没有被定义。
那么“乌龟悖论”注定是无法解释的悖论。
哪怕在地球上,微积分也没有告诉大家“芝诺的乌龟”到底为什么是错的,它只是针对“芝诺的乌龟”做出了定义。
我们定义了乌龟可以被追上。
而这个定义是自洽的,这就够了。
凯登若有所思地说道:“所以,你为了解释‘乌龟悖论’,想要创造一个定义?”
林恩说道:“创造这个定义需要很多工作,我还没有这个能力。”
凯登笑了:“我是否可以这样理解,你创造定义的目的,是想让数学给现实经验的让步?为了解释现实的现象,创造数学的定义,去迎合现实?
可是我记得你刚刚可是说过,经验性的东西,不一定正确,对吗?
数学是先验的,你为什么要让数学迎合现实经验?
如若让数学给现实经验让步,那么数学存在的意义又是什么?难道数学,不该是对人类直觉的检验吗?”
凯登的反问,非常尖锐。
这个世界上最尖锐的反驳,就是用你曾经说过的话,来反驳你自
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